Winkelabhängigkeit des Transmissionsgitters

Jeder, der schon einmal versucht hat, sowohl Transmissionsgitter als auch Reflexionsgitter auszurichten, wird festgestellt haben, dass das Transmissionsgitter viel einfacher auszurichten ist. Aber was steckt physikalisch dahinter? Man könnte meinen, dass die Beugungsordnungen beider Gittertypen durch die gleiche Gittergleichung bestimmt werden. Warum gibt es dann trotzdem einen Unterschied? Diese technische Notiz erklärt den Grund für den Unterschied in der Winkeljustagetoleranz zwischen Transmissions- und Reflexionsgitter.

Der Hauptunterschied ist in den obigen Abbildungen zu erkennen. Im Folgenden werden alle Winkel relativ zur Normalen des Gitters gemessen. Zuerst betrachten wir die 0^te Beugungsordnung für beide Gittertypen, während wir das Gitter leicht neigen. Für die 0^te Beugungsordnung entspricht der Beugungswinkel (β) dem Einfallswinkel (α). Bei einem Reflexionsgitter wird die 0^te Ordnung offensichtlich von der Oberfläche zurückreflektiert, so als ob das Gitter ein ebener Spiegel wäre. Wenn das Gitter geneigt wird, verschiebt sich die 0^te Beugungsordnung um das Doppelte der Winkelneigung. Die Beugungen höherer Ordnung folgen im Wesentlichen der 0^ten Beugungsordnung, so dass sich auch die m^te Beugungsordnung winklig um das Doppelte des Neigungswinkels des Gitters verschiebt. Bei einem Transmissionsgitter hingegen geht die 0^te Ordnung geradlinig durch das Gitter und wird durch die Neigung des Gitters nicht beeinflusst. Da die Beugungen höherer Ordnung der 0^ten Beugungsordnung folgen, wird die m^te Beugungsordnung durch die Neigung des Gitters fast nicht beeinflusst. Abbildung 1 vergleicht die Gesamtänderung des 1^ten Beugungswinkels für ein Transmissions- und ein Reflexionsgitter im Vergleich zur Änderung der 0^ten Ordnung für eine typische Gitterfurchendichte von 1200 l/mm. Die Diagramme in Abbildung 1 wurden mit der Gittergleichung berechnet (Einzelheiten siehe nächster Abschnitt).

Abbildung 1: Änderung des Ablenkwinkels für die 0. und 1. Ordnung in Abhängigkeit von der Gitterneigung für ein Transmissionsgitter und Reflexion mit einem Gitter von 1200 l/mm.

Um die tatsächlichen Ablenkwinkel zu berechnen, muss man die Gittergleichung berücksichtigen und eine Neigung zur Gitter-Normalen hinzufügen. Die allgemeine Gittergleichung, die die Beziehung zwischen Einfallswinkel (α), Beugungswinkel (β), der Wellenlänge des Lichts (λ) und der Periode (Λ) bestimmt, lautet:

mλ/Λ = sin(α) + sin(β)          Eq. 1

wobei m die Beugungsordnung ist (0, -1, +1, -2, +2, usw.). Wir werden Abbildung 2 verwenden, um die Beziehung zwischen dem Beugungswinkel β’’ als Funktion des Neigungswinkels θ zu finden. β’’ wird von der nicht geneigten Gitter-Normalen aus gemessen. Winkel auf der linken Seite des Gitters sind positiv, wenn sie gegen den Uhrzeigersinn gemessen werden. Für das Transmissionsgitter sind die Winkel der transmittierten Ordnungen unterhalb der Gitter-Normalen positiv.

Wenn das Gitter im einfallenden Strahl um einen Winkel θ geneigt ist, wird der Einfallswinkel auf α’ = α-θ reduziert. Der neue Beugungswinkel (β’) wird nun von der geneigten Gitter-Normalen aus gemessen. Aus Abbildung 2 ist ersichtlich, dass der Winkel β’’ – welcher der neue, von der nicht geneigten Gitter-Normalen aus gemessene Beugungswinkel ist – für ein Transmissionsgitter zu β’’ = β’ – θ wird, für ein Reflexionsgitter jedoch zu β’’ = β’ + θ. Durch Einsetzen der Gittergleichung und α’ = α-θ erhalten wir die folgende Gleichung zur Berechnung von β’’ als Funktion der Gitterneigung:

Transmissionsgitter: β’’ = asin(mλ/Λ – sin (α-θ)) – θ
Reflexionsgitter: β’’ = asin(mλ/Λ – sin (α-θ)) + θ

Diese Gleichungen wurden verwendet, um die Durchbiegungsänderung β’’-β in Abbildung 2 zu berechnen.

Abbildung 2: Änderung der Beugungswinkel für a) ein Transmissionsgitter und b) ein Reflexionsgitter, wenn das Gitter um einen Winkel θ geneigt wird